Comparación de funciones

Dos funciones f y g , la formación compuesta y denotada por e o g (f compuesta cong) se define como ( f o g ) (x)= f [g (x)]

Donde el dominio de f o  g es el conjunto de números X en el dominio de g tales que  g (x) esta en el dominio de f.

De igual forma se puede expresar como: ( g o f)(x) = g [ f(x)]

F(x) = -3

G(x)- 4x   encuentra:  (f o g)(x)=f[g(x)]

=2(4x)-3

=2(16x)2- 3

=32x2-3

Dominio de Funciones

A menudo el dominio de una función no aparece especificado, la función aparece indicada por una ecuación en dos variables.

Ej: { x r/ y=p(x) o r}

Es decir el dominio de la función f es un conjunto mayor de números reales, tales que el valor resultante f(x) es un conjunto real (conjunto de valores de x)

Ej: ¿Qué valores puede asumir de manera que el valor que resulte sea real?

a.      I = rt

b.     

Df= {x/ x}

Uso de permutaciones y combinaciones

Permutaciones

En el contexto de los problemas de Conteo, a los arreglos se le conoce como permutaciones. El numero de permutaciones de *N* objetos distintos tomados *r* a la vez, se escribe como P(n,r).Puesto que el numero de objetos que debe acomodarse no debe exceder al total disponible, para nuestros objetivos y suponemos que r  n. Al aplicar el principio fundamental de conteo para arreglar esto y obtener

P(n,r)=(n-1)(n-2)……..[n-(1-1)]

Ejemplo:

1.       De cuantas formas puede acomodarse en fila los 6 miembros  de un club para tomarse una fotografía.

5! = 5*4*3*2*1 = 120

2.       De cuantas formas pueden acomodarse en filas de 3 los 5 miembros de un club para tomarse una fotografía.

5*4*3 = 60

Graficas y funciones

-rectas y sus pendientes

Ecuación lineal en dos variables

Ax + by = c

Forma estándar de la ecuación lineal

Interceptos

En X            En Y

Y=0             X=0

Ejemplo:

Int en x	Int en y
2x + 3(0) =6 2x = 6 2      2 X= 3 (3,0)	2(0) +3y = 6 3y = 6 3      3 Y = 2 (0,2)

2x+3y =6

  

Funciones

Funciones Basicas:












A continuación se describen algunos pasos a seguir para obtener un esbozo de la gráfica de
y=f(x), por medio de la representación de puntos:
1) Determinar los puntos de intersección de y=f(x) con cada eje coordenado.
2) Construir una tabla de valores de f. Escoger un grupo representativo de valores de x
en el dominio de f, y construir una tabla de valores (x,f(x)).
3) Representar los puntos (x,f(x)) considerados en la tabla, en el sistema de coordenadas.
4) Unir los puntos representados por medio de una curva suave

Coeficiente diferencial

El cociente diferencial de la función f se define como

f(x+h)−f(x)h

Es importante no sólo porque, al tomar el límite cuando h tiende a cero resulta la derivada de la función, sino también porque admite la siguiente interpretación --fundamental para la comprensión de la derivada y para sus aplicaciones:

-Las funciones se denotan por letras tales como f, F, g, G
-Es importante se*alar que puede utilizar cualquier letra para nombrar la variable independiente. 

"F de x'" no significa F multiplicado por x, significa el valor de y que la funcion f le asigna a la x. 

Pendiente- Intercepto

Las líneas rectas son producidas por funciones lineales. Esto significa que una línea recta puede ser descrita por una ecuación que tenga la forma de de una ecuacion lineal, . 

En ésta fórmula, y es la variable dependiente, xes la variable independiente, m es una constante de tasa de cambio, y b es el ajuste que mueve la función con respecto al origen. En una ecuación más general de la línea recta, x y y son coordenadas, m es la pendiente, y b es la [intersección en y]. Como la ecuación describe una recta en términos de su pendiente y su intersección en y, ésta ecuación se llama forma pendiente-interseccion.

Ahora que entendemos la forma pendiente-intersección, podemos ver la gráfica de una recta y escribir su ecuación tan sólo identificando la pendiente y la intersección en y. Intentémoslo con ésta recta:

Distancia y Punto Medio

En matematicas, la grafica de una funcion:

es la representación gráfica de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen. Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano.

Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una linea recta o curva.

Formula de punto medio: 

Ejemplo:

Factoriales

El factorial para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los numeros naturales) hastan.

Esta seccion comenzo con una exposicion de numeros de 3 digitos no repetidos del conjunto.
De acuerdo con el principio fundamental de conteo esto es 3x2x1 = 6. Este producto tambien puede ser considerado como el numero total de disposiciones de los digitos 1, 2, 3.

La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendo sus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del analisis matematico.

 

Composicion de funciones

Dadas dos funciones f y g, la funcion compuesta denotada por f o g se define como:
(f o g) (x) = f[g(x)]
donde el dominio de f o g es el conjunto de numeros x en el dominio de g tales que g (X) esta en el dominio de f.
De igual forma se puede expresar como:
(g o f) (x) = g[ f(x)]
f(x)= 2x- 3
g(x)= 4x
1. (f o g) (x) = f [ g (x) ]
                      = 2(4x)2 - 3
                     = 32 x2 - 3

Prueba de la recta vertical

Una ecuacion define a una funcion si cada recta vertical en el sistema de coordenadas cartesianas pasa a lo mas por un punto de la grafica de la ecuacion. Si una recta vertical pasa por dos o mas puntos de la grafica de una ecuacion, entonces la ecuacion no define una funcion. Una funcion puede definirse mediante una correspondencia, un conjunto de pares ordenados mediante una ecuacion en dos variables, digamos x de y y mediante una grafica.

Ecuacion constante

Rectas y sus pendientes
 Una recta se determina por dos puntos diferentes. Tambien queda determinada por unode sus puntos y alguna medida de su inclinacion. La media de la inclinacion de una recta se denomina pendiente.
Si x no es igual a x2, la pendiente de la recta atraves de los puntos diferentes (x,y) y (x2, y2) es la siguiente:

m= Elevacion/Avance = y/x

Combinaciones

Cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o con  todos los elementos del conjunto dado sin que ninguno se repita y sin importar el orden de ellos; estas agrupaciones se diferencian entre si, solo por los elementos que la conforman.

c = n!
    -----
    r!(n-r)!

Diagrama de arbol

El diagrama de arbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el calculo de la probabilidad se requiere conocer el numero de elementos  que forman parte de el numero de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construccion  del diagrama.
Ejemplo :

Metodos de conteo

Los metodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el numero de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.

Tareas con una fase
1.Lanzar una moneda al aire (2) posibilidades resultados.
2.Tirar un dado (6) posibles resultados
3.Club de 5 miembros (5) posibles resultados

Tareas con dos fases
Determine la cantidad de numeros de dos digitos que pueden con los digitos (1,2,3)
     1    2   3
1  11  12  13
2  21  22  23
3  31  32  33

Diagrama de arbol
Un diagrama de arbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
En el calculo de la probabilidad se reuiere conocer el # de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se deteminan con el diagrama de arbol.

a).se pueden repetir los digitos    b. no se pueden repetir los digitos